>「○○翻訳事務所」としたいのですが、そういう事務所は
>法人としては登録していないのに、勝手にそういう名前を
>作って請求書を出して問題無いのでしょうか。

問題ありません。

法人登記と屋号は別物です。個人事業主の屋号には法的制約は何もありません。
いつからでも自由に名乗れますし、いつでも変更できます。

また、屋号と青色申告も別物です。白色申告であろうが青色申告であろうが、屋
号を名乗ることはできますし、屋号の変更も自由です。